Depois de contratado o certificado ssl e você conseguir acessar o site via https, instale o plugin Better Search Replace.
Depois de ativado vá em Ferramentas > Better Search Replace
No campo Search for coloque o endereço do seu site com http, exemplo:
No campo Replace with coloque o endereço do seu site com https, exemplo: https://www.seusite.com.br
Selecione todas as tabelas no campo Select tables
Desmarque a opção If checked, no changes will be made to the database, allowing you to check the results beforehand.
Clique em Run Search/Replace
Se ao terminar você for redirecionado à página de login é por que deu certo.
Agora entre no painel de controle do Joomla novamente, e instale o plugin WP Force SSL, assim que você ativa-lo, ele forçará o acesso de todos os visitantes de http para https.
Não se esqueça de cadastrar seu https no Google Webmaster.